Calculateur Logarithme

En mathématiques, le logarithme d’un nombre est l’exposant par lequel il faut élever une autre valeur fixe, la base, pour obtenir ce nombre. Par exemple, le logarithme décimal de 1000 est 3, car 1000 est égal à 10³ : 1000 = 10³ = 10 × 10 × 10. Plus généralement, si x = by, alors y est le logarithme de x en base b, noté logₐ x, donc log₁₀ 1000 = 3. En tant que fonction d’une seule variable, le logarithme en base b est l’opération inverse de l’exponentiation en base b.

Le logarithme décimal est couramment utilisé en sciences et en ingénierie. Sa base est e ≈ 2,718. Son utilisation est répandue en mathématiques et en physique en raison de sa dérivée très simple. Le logarithme binaire utilise la base 2 et est largement employé en informatique, en théorie de l’information, en théorie musicale et en photographie. Lorsque la base est explicite ou non pertinente, elle est souvent omise, et le logarithme est alors noté log x.

Les logarithmes ont été introduits par John Napier en 1614 pour simplifier les calculs. Ils ont rapidement été adoptés par les navigateurs, les scientifiques, les ingénieurs, les géomètres et d’autres pour effectuer plus facilement des calculs de haute précision. Grâce aux tables de logarithmes, les multiplications fastidieuses à plusieurs chiffres peuvent être remplacées par la consultation de tables et des additions plus simples. Ceci est possible car le logarithme d’un produit est la somme des logarithmes de ses facteurs :

log b(xy) = log b x + log b y,

à condition que b, x et y soient tous positifs et que b ≠ 1. La règle à calcul, également basée sur les logarithmes, permet des calculs rapides sans tables, mais avec une précision moindre. Le concept actuel de logarithmes provient de Leonhard Euler, qui les a liés à la fonction exponentielle au XVIIIe siècle et a également introduit la lettre e comme base des logarithmes naturels.

Les échelles logarithmiques permettent de réduire de grandes quantités à des échelles plus petites. Par exemple, le décibel (dB) est une unité utilisée pour exprimer des rapports sous forme de logarithmes, principalement pour la puissance et l’amplitude des signaux (dont la pression acoustique est un exemple courant). En chimie, le pH est une mesure logarithmique de l’acidité d’une solution aqueuse. Les logarithmes sont omniprésents dans les formules scientifiques et dans la mesure de la complexité des algorithmes et des objets géométriques appelés fractales. Ils sont utilisés pour décrire les rapports de fréquence des intervalles musicaux, apparaissent dans les formules de calcul des nombres premiers ou d’approximation des factorielles, jouent un rôle dans certains modèles psychophysiques et peuvent être utiles en comptabilité forensique.

Le concept du logarithme comme fonction inverse de l’exponentiation s’étend à d’autres structures mathématiques. Toutefois, de manière générale, le logarithme est une fonction multivoque. Par exemple, le logarithme complexe est la fonction inverse multivoque de l’exponentielle complexe. De même, le logarithme discret est la fonction inverse multivoque de l’exponentielle dans les groupes finis. Il est utilisé en cryptographie à clé publique.

Étant donné un nombre réel positif b ≠ 1, le logarithme d’un nombre réel positif x en base b [nb ≥ 1] est l’exposant par lequel il faut élever b pour obtenir x. Autrement dit, le logarithme de x en base b est l’unique nombre réel y .