Calculateur Surface
Géométrie, Terrain et Travaux.
Bien que l’aire de nombreuses surfaces simples soit connue depuis l’Antiquité, une définition mathématique rigoureuse de l’aire exige une grande précision. Elle doit fournir une fonction
qui associe un nombre réel positif à une certaine classe de surfaces satisfaisant plusieurs conditions naturelles. La propriété fondamentale de l’aire d’une surface est son additivité : l’aire du tout est la somme des aires de ses parties. Plus rigoureusement, si une surface S est l’union d’un nombre fini de morceaux S₁, …, Sₙ qui ne se chevauchent qu’à leurs frontières,
alors les aires des surfaces polygonales planes correspondent à leur aire géométrique. Puisque l’aire d’une surface est un concept géométrique, les aires des surfaces congruentes sont identiques, et l’aire ne dépend que de la forme de la surface, et non de sa position ou de son orientation dans l’espace. Cela signifie que l’aire d’une surface est invariante par transformation euclidienne. Ces propriétés caractérisent de manière unique l’aire d’une vaste classe de surfaces géométriques dites lisses par morceaux. De telles surfaces sont composées d’un nombre fini de segments qui peuvent être représentés paramétriquement.
L’aire de SD est ainsi obtenue en intégrant la longueur du vecteur normal à la surface sur la région D appropriée du plan paramétrique uv. L’aire de la surface entière est ensuite obtenue en additionnant les aires des segments, grâce à l’additivité des aires. La formule principale peut être spécialisée pour différentes classes de surfaces, notamment en fournissant des formules pour les aires des graphes z = f(x,y) et des surfaces de révolution.
Lanterne de Schwarz à M segments axiaux et N sommets radiaux. La limite de l’aire lorsque M et N tendent vers l’infini ne converge pas. En particulier, elle ne converge pas vers l’aire du cylindre. Une des subtilités du concept d’aire, comparé à la longueur d’arc des courbes, réside dans le fait qu’elle ne peut être simplement définie comme la limite des aires de formes polyédriques approchant une surface lisse donnée. Hermann Schwarz a démontré que, même pour le cylindre, différents choix de plans approchant les surfaces peuvent conduire à différentes valeurs limites pour l’aire ; cet exemple est connu sous le nom de lanterne de Schwarz.
Diverses approches d’une définition générale de l’aire ont été développées à la fin du XIXe et au début du XXe siècle par Henri Lebesgue et Hermann Minkowski. S’il existe une notion naturelle et unique d’aire pour les surfaces lisses par morceaux, il est parfois impossible d’attribuer une aire à une surface très irrégulière ou rugueuse. Une surface parsemée de pointes denses en est un exemple typique. De nombreuses surfaces de ce type apparaissent dans l’étude des fractales. Des extensions du concept d’aire, qui remplissent partiellement sa fonction et peuvent être définies même pour des surfaces très irrégulières, sont étudiées en théorie géométrique de la mesure. Le contenu de Minkowski de la surface en est un exemple précis.