Calculateur Écart-Type

L’écart type, généralement noté σ, mesure la variation ou la dispersion (il décrit l’étendue de la distribution) des valeurs d’un ensemble de données. Plus l’écart type est faible, plus les données sont proches de la moyenne (ou valeur attendue), μ. Inversement, un écart type élevé indique une plus grande dispersion des valeurs. Comme d’autres concepts mathématiques et statistiques, l’écart type est utilisé dans de nombreuses situations, donnant lieu à de nombreuses formules. Outre son utilisation pour exprimer la variabilité d’une population, l’écart type est également fréquemment utilisé pour mesurer des résultats statistiques tels que la marge d’erreur. Dans ce cas, on parle souvent d’erreur type de la moyenne ou d’erreur type de l’estimation par rapport à la moyenne. Le calculateur ci-dessus calcule l’écart type de la population et l’écart type de l’échantillon, ainsi que des approximations de l’intervalle de confiance.

Écart-type de l’échantillon

Dans de nombreux cas, il est impossible d’interroger chaque individu d’une population. Il est donc nécessaire de modifier l’équation ci-dessus pour calculer l’écart-type à partir d’un échantillon aléatoire de la population étudiée. Un estimateur courant de σ est l’écart-type de l’échantillon, généralement noté s. Il est important de noter qu’il existe de nombreuses équations pour calculer l’écart-type de l’échantillon car, contrairement à la moyenne de l’échantillon, il n’existe pas d’estimateur unique, sans biais, efficace et de vraisemblance maximale pour l’écart-type de l’échantillon. L’équation présentée ci-dessous est l’« écart-type de l’échantillon corrigé ». Il s’agit d’une version corrigée de l’équation obtenue en modifiant l’équation de l’écart-type de la population, en utilisant la taille de l’échantillon comme taille de la population, ce qui réduit le biais. Cependant, l’estimation sans biais de l’écart-type reste complexe et varie selon la distribution. Ainsi, l’« écart-type de l’échantillon corrigé » est l’estimateur le plus couramment utilisé pour l’écart-type de la population et est généralement appelé simplement « écart-type de l’échantillon ». Il s’agit d’une bien meilleure estimation que sa version non corrigée, mais elle présente toujours un biais important pour les petits échantillons (N < 10).

Applications de l’écart type

L’écart type est largement utilisé dans les contextes expérimentaux et industriels pour tester des modèles par rapport à des données réelles. Un exemple d’application industrielle est le contrôle qualité de certains produits. L’écart type permet de calculer une valeur minimale et une valeur maximale dans lesquelles une caractéristique d’un produit devrait se situer la plupart du temps. Si les valeurs s’écartent de cet intervalle, il peut être nécessaire de modifier le processus de production pour garantir le contrôle qualité.

L’écart type est également utilisé en météorologie pour déterminer les différences climatiques régionales. Prenons l’exemple de deux villes, l’une côtière et l’autre intérieure, ayant la même température moyenne de 24 °C (75 °F). Si cela pourrait suggérer que les températures dans ces deux villes sont pratiquement identiques, la réalité serait trompeuse si l’on ne considérait que la moyenne et que l’on ignorait l’écart type. Les villes côtières ont tendance à avoir des températures beaucoup plus stables grâce à la régulation exercée par les grandes étendues d’eau, car l’eau a une capacité thermique massique supérieure à celle de la terre. En résumé, cela rend l’eau beaucoup moins sensible aux variations de température, et les zones côtières restent plus chaudes en hiver et plus fraîches en été en raison de l’énergie considérable nécessaire pour modifier la température de l’eau. Ainsi, alors qu’une ville côtière peut connaître des variations de température entre 16 °C et 29 °C sur une période donnée, avec une moyenne de 24 °C, une ville de l’intérieur des terres peut connaître des variations de température allant de -1 °C à 43 °C, aboutissant à la même moyenne.

L’écart type est également largement utilisé en finance, où il sert souvent à mesurer le risque associé aux fluctuations de prix d’un actif ou d’un portefeuille d’actifs. Dans ce cas, son utilisation permet d’estimer l’incertitude des rendements futurs d’un investissement donné. Par exemple, si l’on compare l’action A, qui a un rendement moyen de 7 % avec un écart type de 10 %, à l’action B, qui a le même rendement moyen mais un écart type de 50 %, la première action apparaît clairement comme l’option la plus sûre, puisque l’écart type de l’action B est significativement plus élevé pour un même rendement. Cependant, cela ne signifie pas nécessairement que l’action A représente toujours un meilleur investissement dans ce cas précis, car l’écart type peut fausser la moyenne dans les deux sens. Si l’action A a une probabilité plus élevée d’afficher un rendement moyen proche de 7 %, l’action B pourrait potentiellement générer un rendement (ou une perte) bien plus important.

Ce ne sont là que quelques exemples d’utilisation de l’écart type, mais il en existe bien d’autres. De manière générale, le calcul de l’écart type est utile dès lors qu’il est nécessaire de connaître la différence maximale entre une valeur typique et la moyenne d’une distribution.